1. 正多面体 2. Platonic-solid 2.1 判断依据 2.2 简单证明 2.3 同心球 2.4 相关计算公式 2.5 正多面体数据表 3. Blender绘制正多面体
1. 正多面体
正多面体 (regular polyhedron) 是指以全等正多边形为面的多面体。
它的对称群 (symmetry group) 作用于其所有面（或称旗面 flags）上，传递性 (transitively) 成立。
正多面体具有高度对称性 (symmetrical)，边传递性 (edge-transitive)、顶点 (vertex) 传递性和面 (face) 传递性均成立。
在经典语境中，正多面体有许多不同的等价定义； 一种常见的定义是，其所有面都是全等正多边形，且围绕每个顶点以相同的方式组装而成。
缩减到4个字: 等边等角
种类
- 五种凸正多面体 convex regular polyhedra，称为柏拉图立体 Platonic solids；
- 四种正星形多面体 regular star polyhedra，即开普勒-泊松多面体 Kepler–Poinsot polyhedra；
- 五种正多面体的复合多面体 regular compounds of regular polyhedra.
本文只考虑 五种凸正多面体 柏拉图立体
2. Platonic-solid
正多面体的作法收录于《几何原本》：
- 命题13描述正四面体的作法；
- 命题14描述正八面体作法；
- 命题15描述立方体作法；
- 命题16则是正二十面体作法；
- 命题17则是正十二面体作法。
2.1 判断依据
判断正多面体的依据有三条
- 正多面体的面由正多边形构成
- 正多面体的各个顶角相等
- 正多面体的各条棱边都相等
一个凸多面体，各个顶角相等；各条棱边都相等，是否必然是正多面体？
2.2 简单证明
正多面体，由多个正多边形组成。
正多边形，边数 为 n ，每个内角: 180 * (n – 2) / n < 360 / 3 = 120
正n变形内角分别为：
n=3，内角60°；n=4，内角90°；n=5，内角108°；n=6，内角120°…
正6边形 及更多边的内角都大于等于120度，无法成为正多面体的面。
所以正多面体的面，只能是，正3，4，5边形。
其中：
- 正5边形，角度为108°，单个顶点只能允许3个正5边形，正12面体
- 正方形，角度为90°，单个顶点同样只能允许3个面存在，正六面体
- 正3角形，角度为60°，单个顶点可以有(3,4,5)个面存在，正4,8,20面体
2.3 同心球
正多面体具有三个相关的球体（其他非正多面体至少缺少一种），其球心位于同一个点上：
- 内切球 与所有面相切，内切圆半径 r: 多面体中心到 面中心 的距离。
- 中分球 与所有棱相切，中点半径 ρ: 多面体中心到 边中点 的距离。
- 外接球 过所有顶点，外接圆半径 R: 多面体中心到 顶点 的距离。
2.4 相关计算公式
- 正多边形面积公式: S = ½ * Pr (P是周长，r是边心距。)
- 锥体的体积公式为：V=1/3Sh，公式中S为底面积，h为高。
每个柏拉图立体都可以被赋予一对整数 { p , q }，
- p 表示每个面的边数（或等价地，顶点数），
- q 表示每个顶点处相交的面数（或等价地，边数）。
这对整数 { p , q } 被称为施莱夫利符号，它给出了多面体的组合描述。
- 柏拉图立体 {p, q} 的表面积A可以 很容易地计算为正p边形的面积乘以面数F。即 ：
- A = (α/2)2 * Fp * cot(π/p)
- 体积计算方法为：F乘以底面为正p边形、高为内切半径r的棱锥的体积。也就是说，
- V = 1/3 * r * A
2.5 正多面体数据表
| Platonic solids | Tetrahedron | Cube | Octahedron | Dodecahedron | Icosahedron |
| Face 面数 | 4 | 6 | 8 | 12 | 20 |
| 构成面 | ▲△▲ | □■□ | ▲△▲△ | 5边形 | ▲△▲△▲ |
| 单面的顶点 p | 3 | 4 | 3 | 5 | 3 |
| 单顶点相邻的面 q | 3 | 3 | 4 | 3 | 5 |
| Vertex 顶点 V=pF/q | 4 | 8 | 6 | 20 | 12 |
| Edge 边线 E=pF/2 | 6 | 12 | 12 | 30 | 30 |
| Face 面数 | 4 | 6 | 8 | 12 | 20 |
| 对偶多面体 | 自己 | 相互 ⇄ 对偶 | 相互 ⇄ 对偶 | ||
| 柏拉图立体 | 正四面体 | 立方体 | 正八面体 | 正十二面体 | 正二十面体 |
| 边长 a | a | a | a | a | a |
| 表面积 Surface area |
√3 *a2 ≈ 1.732a2 |
6a2 | 2√3 *a2 ≈ 3.464a2 |
3*√(25+10√5)a2 ≈ 20.65a2 |
5√3a2 ≈ 8.66a2 |
| 体积 Volume |
1/12 *√2 *a3 ≈ 0.118a3 |
a3 | √2 /3 *a3 ≈ 0.471a3 |
1/4(15+7√5)a3 ≈ 7.663a3 |
5/12 * (3+√5)a3 ≈ 2.182a3 |
| 二面角角度 Dihedral angle |
acos(1/3) ≈ 70°52’ |
90° | acos(-1/3) ≈ 109°28’ |
acos(-√5/5) ≈ 116°57’ |
acos(-√5/3) ≈ 138°19’ |
| 外接球半径 R circumscribed |
√6 / 4 *a ≈ 0.612a |
√(3/4) *a ≈ 0.866a |
a / √2 ≈ 0.707a |
√6/4 * √(3+√5)a ≈ 1.401a |
a/4 * √(10+2√5) ≈ 0.951a |
| 中分球半径 ρ midsphere |
(1/√2)/2 ≈ 0.354a |
√2/2 * a ≈ 0.707a |
a/2 ≈ 0.5a |
a((1+√5) / 2)2 / 2 ≈ 1.309a |
a(1+√5) / 4 ≈ 0.809a |
| 内切球半径 r inscribed |
√6 / 12 *a ≈ 0.204a |
a/2 ≈ 0.5a |
a / √6 ≈ 0.408a |
a/4 * √((50+22√5)/5) ≈ 1.114a |
a/12 * √3 (3+√5) ≈ 0.756a |
对偶多面体的特点是，顶点数和面数互调。适当调整边长，可以互相内切或外接。
3. Blender绘制正多面体
- 正4面体-特殊的锥体
- 新建 锥体 Cone，顶点:3; 半径1:1m; 半径2:0m; 深度:sqrt(2)
- 正6面体-就是立方体
- 新建 立方体 Cube
- 正8面体-利用对偶立方体生成
- 这个形状是立方体的对偶——它的顶点对应立方体的面，面对应立方体的顶点。
- 新建 立方体 Cube, [Tab]编辑模式，[A]全选, [Ctrl B]倒角, 左下角编辑面板 偏移 填写1, 完成。
- 正20面体-特殊的棱角球
- 新建 球体 Icosphere ,细分设置为1，完成。
- 正12面体-利用对偶的正12面体生成
- 这个形状是正二十面体的对偶面。
- 新建 球体 ,细分设置为1, 创建正20面体,
- [Tab]编辑模式，[A]全选, [Ctrl B]倒角, 左下角编辑面板 偏移 填写( 0.30310889132 ), 完成。
- 该值来自以下公式：a*sqrt(3)/6. a是二十面体的边长（如果用上述方法制作，则为 1.05）
更多画法:
- 正4面体-(正4面体的边数 6 = 正6面体的面数 6)
- 正6面体的每个面对角线连接形成正4面体。
- 正8面体-(正8面体的边数 12 = 正12面体的面数 12)
- 正12面体的每个面对角线连接形成正8面体。
- 正8面体-(正8面体的边数 12 = 正4面体的面数 4的3倍)
- 在正4面体的每个面上3条边中点相连，每个面画出3条边，4个面共画出12条边，这12条边形成正8面体。
利用对偶关系
正多面体，每个面的中心点相连接，形成对偶多面体。
每个面中心和相邻面中心连接产生的边数对应原本这2个面相邻边，总边数保持不变。
顶点数和面数则相反。
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