1. Bézier 1.1 应用 1.2 复合贝塞尔曲线 1.3 有理贝塞尔曲线 Rational Bézier curves 1.4 Degree 阶数与控制点 1.5 Bézier 曲线示意图 2. B-spline 3. NURBS
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1. Bézier
Bézier curve 贝塞尔曲线（/ˈbɛz.i.eɪ/，法语发音：[ bezje ] ）是一种参数曲线，广泛应用于计算机图形学及相关领域。
一组离散的“控制点”通过公式定义了一条光滑连续的曲线。
贝塞尔曲线以法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier，1910-1999）的名字命名，他在20世纪60年代将其用于雷诺汽车车身曲线的设计。贝塞尔曲线于1962年，由皮埃尔·贝兹所广泛发表。
贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
通常，贝塞尔曲线用于近似现实世界中没有数学表示、表示方法未知或过于复杂的形状。
贝塞尔曲线可以组合形成贝塞尔样条曲线 Bézier spline，也可以推广到更高维度形成贝塞尔曲面 Bézier surfaces。
更高维度的广泛化贝塞尔曲线就称作贝兹曲面，其中贝兹三角 Bézier triangle 是一种特殊的实例。
1.1 应用
- 电脑绘图，贝塞尔曲线是矢量图形 vector graphics 文件和相应软件（如PostScript、PDF等）能够处理的唯一曲线，用于光滑地近似其他曲线。
- 电脑动画，贝塞尔曲线常用于定义 3D 路径以及用于关键帧插值的 2D 曲线，应用程序会创建物体沿该路径运动所需的帧。。
- 贝塞尔曲线现在非常常用于控制CSS、JavaScript、JavaFX和Flutter SDK中的动画缓动效果。
- 机器人技术，例如，焊接臂的运动应该平稳，以避免不必要的磨损。
- 字体
- TrueType字体使用由二次贝塞尔曲线组成的复合贝塞尔曲线。
- 其他语言和图像工具（例如PostScript、Asymptote、Metafont和SVG）使用由三次贝塞尔曲线组成的复合贝塞尔曲线来绘制曲线形状。
- OpenType字体可以使用任何类型的曲线，具体取决于 OpenType 封装器所采用的字体技术。
1.2 复合贝塞尔曲线
高阶曲线的计算成本更高。当需要更复杂的形状时，可以将低阶贝塞尔曲线拼接在一起，生成复合贝塞尔曲线。
在矢量图形语言（如PostScript）、矢量图形标准（如SVG）和矢量图形程序（如Artline、Timeworks Publisher、Adobe Illustrator、CorelDraw、Inkscape和Allegro）中，复合贝塞尔曲线通常被称为“路径”path。
路径不受栅格化图像的限制，并且易于修改。
转换
对贝塞尔曲线进行扫描转换（栅格化）的最简单方法是在多个紧密排列的点上评估曲线，然后对近似的线段序列进行扫描转换。
然而，这种方法并不能保证栅格化输出足够平滑，因为点之间的间距可能过大。
反之，在曲线接近直线的区域，这种方法可能会生成过多的点。
1.3 有理贝塞尔曲线 Rational Bézier curves
有理贝塞尔曲线通过添加可调节的权重来更精确地逼近任意形状。该权重定义了该点对曲线的“吸引力”。
其分子是加权伯恩斯坦形式的贝塞尔曲线，分母是伯恩斯坦多项式的加权和。
有理贝塞尔曲线的用途之一是精确表示圆锥曲线的线段，包括圆弧。
普通贝塞尔曲线是有理贝塞尔曲线的一种特殊情况，其中所有权重都相等。
有理贝塞尔曲线为设计者提供了更多选择，但代价是算法更复杂，需要跟踪更多数据。
1.4 Degree 阶数与控制点
- Bézier 曲线的控制点，可以理解为端点，但只有2头的端点作为曲线的起始和终止点，其他中间端点通常不在曲线上。
- Bézier 曲线的Degree 阶数，或翻译为次数，这里的“次”指的是用于贝塞尔曲线的多项式混合函数中的最高指数。
贝塞尔曲线可以是任意次数的。一次曲线是一条简单的直线，有两个控制点。
二次曲线是一条圆弧，有三个控制点。次数越高，控制点越多，可以绘制出越复杂的形状。
但同时，由于每个控制点都会影响整条曲线，因此使用起来也更加困难。
1.5 Bézier 曲线示意图
| 控制点 | Degree 阶数 | Gif | 补充说明 | Bézier/贝塞尔/贝兹 构造描述 |
| 2 | 一阶 / 线性 linear / First-order |
 |
直线 line | 随时间变化(0~1) 从控制点1向控制点2移动描绘出的曲线。 |
| 3 | 二 阶/次 quadratic / Second-order |
 |
抛物线 parabola 圆锥弧 conic arcs 字体: TrunType |
设置2个随时间移动的中间点， 模拟2段随时间变化的线性曲线. |
| 4 | 三 阶/次 cubic / Third-order |
 |
字体: PostScript, Metafont, SVG… | 设置3个随时间移动的中间点， 模拟出随时间变化的2次曲线， 再在模拟的2次曲线上: (…重复二阶的动态构造过程…) |
| 5 | 四 阶/次 quartic / fourth-order |
 |
Higher-order 高阶曲线 计算成本更高! 使用更加困难! (只能全局修改) 牵一发而动全身 |
设置4个随时间移动的中间点， 模拟出随时间变化的3次曲线， 再在模拟的3次曲线上: (…重复三阶的动态构造过程…) |
| 6 | 五 阶/次 fifth-order |
 |
设置5个随时间移动的中间点， 模拟出随时间变化的4次曲线， 再在模拟的4次曲线上: (…重复四阶的动态构造过程…) |
(运动轨迹使用德卡斯特里奥算法计算)
每个控制点都会影响整条曲线，图上可看出，曲线轨迹会受到所有控制点的影响。
如上，使用递归降阶的方式动态计算描绘出曲线，阶数越高计算量越高，因此，最常用的是2阶和3阶。
更高阶的需求会使用多段低阶曲线组合成复合曲线，比如B样条。
2. B-spline
B样条的概念可以追溯到19世纪，当时尼古拉·罗巴切夫斯基在俄罗斯喀山大学探索了类似的想法 ，尽管“B样条”一词是由艾萨克·雅各布·勋伯格于1967年创造的，反映了它们作为基函数的作用。
B样条曲线广泛应用于计算机辅助设计（CAD）和计算机图形学等领域，使用等距节点 equidistant knots，通过一组控制点来塑造曲线和曲面；此外，它还可用于数据分析，例如曲线拟合和实验数据的数值微分。
从汽车车身设计到噪声测量数据的平滑处理，B样条曲线提供了一种灵活且精确地表示复杂形状和函数的方法。
De Boor算法是一个数值上稳定的计算B样条的方法。
术语 B-spline B样条是Isaac Jacob Schoenberg创造的，B 是基础（basis）样条的缩写。
B样条曲线由多个贝塞尔弧组成，并提供了一种统一的机制来定义连接处的连续性。
B样条曲线利用外部条件将多个曲线段连接起来，同时保留控制点的原始概念。
相邻曲线共享一些控制点。外部条件可以是隐式的（均匀曲线），也可以由节点向量显式给出。
节点向量定义了相邻曲线（线段）之间应该共享多少信息。
使用多段低阶Bézier组合的方式，既解决了贝塞尔曲线只能全局修改的缺陷，也解决了高阶贝塞尔需求更多资源计算的问题。
3. NURBS
Non-uniform rational basis spline 非均匀有理B样条 ( NURBS ) 是一种使用 basis splines (B-splines)（B样条）的数学模型，常用于计算机图形学中表示曲线和曲面。
它在处理解析形状（由常用数学公式定义）和建模形状方面都具有极高的灵活性和精确性。
它是一种曲线建模方法，与多边形建模或数字雕刻不同。
NURBS 曲线广泛应用于计算机辅助设计(CAD)、计算机辅助制造(CAM) 和计算机辅助工程(CAE )领域。
它们是众多行业标准（例如IGES、STEP、ACIS和PHIGS）的组成部分。
各种3D 图形、渲染和动画软件 都提供了用于创建和编辑 NURBS 曲面的工具。
它们既能被计算机程序高效处理，又能方便人机交互。
NURBS曲面是两个参数的函数，映射到三维空间中的一个曲面。
曲面的形状由控制点决定。NURBS曲面可以紧凑地表示简单的几何形状。
T-样条和细分曲面 (T-splines, subdivision surfaces) 更适合于复杂的有机形状， 因为和 NURBS 曲面相比，它们可以将控制点的数量减少一半。
一般来说，编辑 NURBS 曲线和曲面是直观且可预测的。
控制点要么直接连接到曲线或曲面，要么就像用橡皮筋连接一样。
根据用户界面的类型，NURBS 曲线和曲面的编辑可以通过控制点（类似于贝塞尔曲线）进行，也可以通过样条建模和分层编辑等更高级的工具进行。
NURBS 曲线由其阶数、一组加权控制点和一个节点向量定义。
NURBS 曲线和曲面是 B样条和贝塞尔曲线和曲面的推广，主要区别在于控制点的加权，这使得 NURBS 曲线是有理数的。
NURBS曲线和曲面有很多用途：
- 对于给定的阶数，NURBS 集合在仿射变换下是不变的： 可以通过对 NURBS 曲线和曲面的控制点应用旋转和平移等操作来对它们进行变换。
- 它们为标准解析形状（例如圆锥曲线）和自由形状提供了一种通用的数学形式。
- 它们提供了设计各种形状的灵活性。
- 与更简单的方法相比，它们可以减少存储形状时的内存消耗。
- 它们可以通过数值稳定且精确的算法进行相当快速的评估。
- 这里，NURBS 主要在一维（曲线）中讨论；它可以推广到二维（曲面）甚至更高维度。
- 是非有理B样条和非有理和有理贝兹曲线和曲面的推广。
