1. Bézier 曲线发展时间线 2. 各种曲线包含关系图 3. 曲线要素表 4. 小结 5. 维基百科相关链接
Bézier-VS-NURBS
关键字: Bézier, Rational Bézier, B-spline, NURBS
1. Bézier 曲线发展时间线
1912年，伯恩斯坦多项式建立，是贝塞尔曲线的数学基础。
1959年，保罗·德·卡斯特里奥（Paul de Casteljau）运用德卡斯特里奥算法，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
并率先将其应用于法国汽车制造商雪铁龙的计算机辅助设计。德·卡斯特里奥的方法在法国获得了专利，但直到20世纪80年代才发表。
~1962年，贝塞尔多项式则由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier ）在20世纪60年代广泛宣传，他独立发现了贝塞尔多项式，并将其用于雷诺汽车的车身设计。
~1967年，B-spline B样条曲线稍后提出 (~1967)，使用多段低阶曲线复合，解决了贝塞尔曲线全局修改的问题，同时降低了运算量。
~1989年，NURBS曲线最后提出 (~1989之前)，定义最复杂，能表达的曲线最灵活。 主要是解决B样条不能画椭圆、正圆和双曲线的问题。
2. 各种曲线包含关系图
| . | NURBS | 非均匀有理B样条 | ||||
| Non-uniform rational basis spline | ||||||
| . | B-spline | B-样条 | ||||
| basis spline | ||||||
| . | ||||||
| Bézier | Rational Bézier | |||||
| 贝塞尔 | 有理贝塞尔曲线 | |||||
| . | ||||||
3. 曲线要素表
| 曲线 Curves |
阶数 Degree |
控制点 Control Point |
权重 Weight |
节点向量 knot vector |
| Bézier 贝塞尔 |
Y | Y | ||
| Rational Bézier 有理贝塞尔 |
Y | Y | Y | |
| B-spline B-样条 |
Y | Y | Y | 等距节点 equidistant knots |
| NURBS 非均匀有理B样条 |
Y | Y | Y | 非均匀节点 Non-uniform knot |
4. 小结
- 从小到大的看:
- 由最初只能全局修改的 Bézier 曲线。
- 增加了权重后扩展到有理 Bézier 曲线，可以精确表示圆锥曲线的线段，包括圆弧。
- 再由多段低阶 Bézier 曲线复合，并提供统一机制(均匀节点)来定义连接处的连续性，组成B-样条曲线。 支持局部修改，更加容易使用。由多段低阶Bézier组成，也避免过多的运算量。
- 在以上的基础，定义非均匀节点向量，形成非均匀有理B样条，NURBS。能表达的曲线最灵活，定义也最复杂。
- 反过来看:
- NURBS，非均匀有理B样条，最为复杂，也能够表达更加精细的曲线。
- B-spline，B-样条，是NURBS的特例，使用均匀节点向量。
- 有理 Bézier 曲线，是B-样条的一部分，B-样条由多段曲线组成。
- Bézier 曲线 是 有理 Bézier 曲线 的特例，所有节点权重相同的有理 Bézier 曲线就是普通 Bézier 曲线。
